2.1.4  三次样条函数插值法

图2.8三次样条函数原理

    如果各样点之间为三次曲线，则画出的曲线由各段三次曲线拼接而成，且每个采样点处的两段三次曲线的一阶、二阶导数连续，这在数学上称为三次样条函数，其原理如图2.8所示。利用微处理器处理三次样条函数比较复杂，甚至难以实现。这时可以使用诸如MATLAB等强有力的数学工具计算出样条函数的各次系数，利用这些系数就可以编写出高效的用户插值程序。设有0,1,2,…,n个采样点，则n个三次多项式的通用形式为           H101C                        （2.8）
    Si(x)=aix2,+bx2+cix+bi=1,2,3...,n                                         

    三次样条函数Si(x)在区间[xi-xi,xi,]上的三次式常用两种方法表示，一种是设Si(x)=yi，S"(x)=M'hi-xi-xi-1得到m的表达式；另一种是设S(xi)yi,S"(XI)=Mi,hi=xi-xi-1,得到M的表达式。对于M的表达式,因S(x)在[Xi-1，Xi]上是三次式,s"(x)是一次式，s"(xi-1)=Mi-1，S“(xi)=Mi，按线性插值公式可得到
                  xi-x      x-xi-1
             S"(x)_____Mi-1+____Mi
                   hi         hi                                                           (2.9)
                   
    对式(2.9)积分两次可得三次样条函数的M表达式：
                                          hi2Mi-1  Xi-x      hi2Mi-1 x-xi-1
          1                              -_______  _____+[yi-_______]______
    s(x)=__[(xi-x)3Mi-1+(x-xi-1)3M]+[yi-1    6    ]  hi          6     hi
         6hi                xE[Xi-1,xi],i=1.2...,n                            (2.10)

    可见，要确定三次样条函数S(x)，只需确定Mi。为此，需用到S(x)的光滑性。既然三次样条函数的二阶导数连续，当然一阶导数也连续，故在中间节点xi(i=1,2...,n-1)处应有S'(XI)=S'+(Xi),这样可以得到Mi满足的n-1个方程：

                                                                                          (2.11)

    对于两个边界点有S"(xo)=Mo，s"(x)=M"。这样就得到要求解n+1个M值的n+1个方程。由此可y(x)构造某点处的二阶导数表示的三次样条插值函数可分为以下三步。

    ①根据S"(X)的连续性及其为线性函数的特点,将s"(x)表示为线性函数，再根据S(x)的连续性及插值条件，写出S"(x)用够Mi(i=1,2...,n）表示的形式。H1053  

    ②根据S'(x)在节点Xi(i=1,2,...,n-1)处的连续性及边界条件，导出含Mi(i=1,2,...,n)的n+l阶线性方程组。

    ③之解Mi(i=1,2,...,n)的线性方程组，将得到的Mi代入[Xi一l,xi]的表达式，即得到似节点处二阶导数表示的三次样条函数。

    采用MATLAB求解三次样条函数对应的Mi(i=1,2...,n)的程序流程图如图2.9所示。

图2.9样条函数插值程序流程图

    线性插值法比较简单，但精度不高；三次样条函数插值法比较精确，但计算量大；二次抛物线插值法精度较高，计算量适中。在实际应用中，可根据被测量（如温度）与测量值（经A/D转换得到的电压值）之间关系曲线的特征选取合适的插值方法。为避免采用高次插值法，可在测量曲线曲率变化比较大的地方增加测试点，这样就可以采用线性插值法。例如，在比色测温系统中，采样点测试误差很小，且硅光电池特性曲线的中间大部分近似线性，故采用线性插值法。但对于某些情况，要给出更多的测量点有困难时，就必须根据实际情况在不同的区段选取不同的插值方法。H11A817A3SD   

     三种插值方法均属计算法，所取段数越多，计算精度越高。但是，这不仅增加计算量，而且也会产生计算误差。此外，在某些检测系统中，有些参数的计算非常复杂，需要用较长的计算程序，占用较多的微处理器内存单元，此时可利用查表法进行处理。