rs码是一种非分组的有记忆编码，因编码规则遵从卷积运算而得名，可记为（n,k,m）码，其中k表示输入信息 的路数，n表示码元输出的路数，码表示编码器中寄存器的节数。输出码元n不仅与输入信息位k有关，而且与编 码器中记忆的m位有关，通常称l=m+1为约束长度（记忆长度）。其译码既可采用传统的代数方法，也可采用概率 方法，而常用的是概率方法。rs码一般使用（n,k）表示，输入信号分成k×mbit一组，每组包括k个符号，每个 符号由m bit组成。一个可以纠错t个符号的rs码具有如下参数。

　　rs码都是在伽罗华域（galois field，gf）中运算的，因此了解伽罗华域的数据运算是rs编码的前提。无线通 信中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于gf（2）＝gf（28）中的元素或称符号。gf(28)表示域中有256 个元素，除0、1之外的254个元素由本原多项式p(x)生成。本原多项式p(x）的特性是p(x)得到的佘式等于0。无线通信中用来构造gf(28）域的p(x)是p(x)＝ x⁸+x⁴+x³+x²+1，而gf(28）域中的本原元素为α＝（00000010）。

　　下面以一个较简单例子说明域的构造。构造gf(2³)域的本原多项式假定为p(x)＝x³+x+1。α定义为p（x）＝0的根， 即α³＋α＋1＝0和α³＝α＋1。gf(23)中的元素计算如表1所示。

　　表1 gf(2³)中的元素计算

　　用二进制数表示域元素得到如表2所示的对照表。

　　表2 二进制数表示域元素

这样一来就建立了gf(2³)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方法可建立gf(2⁸)域中的256个元素与8位二进制数之间一一对应关系。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是伽罗华域中进行的。现在以gf(2³)域中的运算为例。

　　这些运算的结果仍然在gf(2³)域中。

　　gf域的加法和减法采样异或可以方便地实现，但gf域的乘法和除法计算则十分复杂。在rs码中gf域的除法使用较少，而 乘法使用较多，以下详细介绍gf域的乘法运算。

　　在c6x序列dsp中，c64x中有专门的gf域的乘法指令。这样，可以快速实现gf域的乘法。该指令为gmpy4，可以一次实现4 个8位gf域的乘法。如果条件满足，该指令执行如下运算，其中src1和src2为操作数，ubyte表示无符号的字节数，dst为 目的单元。

　　使用该指令的例子如图1所示。

图1 gmpy4的运行结果

　　gmpy4指令默认使用gf（256）域乘法，其生成多项式为g(x)＝1+x²+x³+x⁴+x⁸。可以通过gfpgfr寄存器设置用户的生成 多项式。gfpgfr寄存器各位的定义如图2所示。

图2 gfpgfr寄存器各位的定义

　　各位的意义分别如下。

　　● 第0～第7位。poly位，可读写位，复位值为ldh；存储生成多项式的系数。

　　● 第8～第23位。预留，只读位，复位值0。

　　● 第24～第26位。size位，可读写位，复位值07；该位值加1为gf域的位数。

　　● 第27～第31位。预留，只读位，复位值0。

　　默认的多项式为g(x)＝1+x²+x³+x⁴+x⁸，则poly中存储的数值为（1+4+8+16）=29，十六进制则为0xld。注意，其中 卢为默认带有1，所以poly的值虽然为0xld，但实际上表示生成多项式系数为0x11d。

　　使用默认多项式做gf（256）的乘法的c程序如下，程序中使用_gmpy4函数的dsp的c编译器带有的内联函数。

　　以上为直接使用默认的生成多项式，如果用户的生成多项式为g(x)＝1+x³+x⁵+x⁶+x⁸，则poly中存储的数值为（1+8+32+64）＝105，十六进制则为0x69。注意，其中x8为默认带有1，所以poly的值为0x69，设置新的poly值并进行gf(256) 的乘法程序如下：

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