武汉中国地质大学计算机科学与技术系(430074) 张 萍 戴光明

高斯随机噪声在信号分析和处理中具有重要的价值。本文具体讨论了一种面向硬件的高斯噪声快速生成算法。算法原理为通过映射表法将均匀噪声转化生成高斯随机噪声。本方法占有内存小、运算速度快、精度高。实验证明该方法能够为视频图像实时添加高斯噪声。

原理框图如图1所示。图1左半部分为均匀噪声生成部分，采用模数取余法，依靠已有的K个随机数种子，不断生成新的随机数，并将之向外输出。图1右半部分采用左半部分的输出值生成映射表地址，将查表后得到的结果输出，即为所要求的高斯噪声值结果。

1生成均匀分布噪声

设x(1)，…，x(k)是给定的k个随机数，在(-X，X)内均匀分布，相互独立。第k+1个随机数由x(1)和x(k)按照模X相加得到：

即x(k+1)仍然是(-X，X)之间的随机数。在下一次运算时，将x(k+1)移到x(k)的位置，xk)移到x(k-1)，……，x(2)移到x{1}，然后再做模X运算，相加得到x(k+2)，如此循环，产生序列{xn}。

首先讨论上面的模X运算。对于采用补码运算的处理器而言，只要取X为处理器字长，则在不考虑进位的情况下，通常的加法就是模加运算。

然后采用数据结构实现上面的循环机制。设两个指针：头指针head和尾指针tail。每计算完一次噪声值后，两个指针都要向下移动一个位置。已到序列尾部，则重新指到序列的头部，即按照加1模K运算：

为了计算方便，选K为256。若用head和lnil指针做相对偏移地址，则可以采用1个字节存储。加1运算之后若不考虑溢出，就等价于加1模256操作。

2映射高斯噪声

为了由均匀噪声快速产生高斯噪声，采用了映射函数法。其算法原理如图2所示。

将正态分布函数的自变量y进行合理的离散化，得到一系列函数值，构成一个数列。再将此数列中的任一个数yi映射到数轴x上的某个小区间段[xi0，xi1]，其中‖xi1－xi0‖=yi。取遍数列中所有的数值，得到一系列的小区间。将所有的小区间依次连接起来，中点置于数轴的零点，则构成变量x的取值区间[-x，x]。将数轴x上的各个小区间与y序列建立映射关系，则可以证明，如果采样间隔足够小，那么x域中的随机分布将对应于y域中的高斯分布。

这个映射关系可以函数表示为y=f（x）。

其中x服从(-X，X)区间内均匀分布，而y服从均值为u、方差为σ的高斯分布。f函数曲线如图3所示。

在算法实现时，对y对应的高斯分布值进行量化处理，并为x分配一块连续的内存区域[0，2X]，每个内存单元的(偏移地址-X)值代表了x值大小，单元内容存放了该单元对应的丁值。这片内存区域就是所需要的映射查找表。这个表具有通用性，可以预先计算好，在需要时可¨直接使用，不必再计算。 对于(0，1)正态分布，图4中的zi都小于1，没有实

原始映射表比较大，实际使用时对其做了粗采样。对y对应的高斯分布值进行的量化也没有采用图4中均标准阶梯形式，而是采用了如下粗采样形式：

其中：采样间隔d=∑yi／M．，量化处理曲线如图5所示。

从图5可以发现，两边较小处并没有像阶梯图那样截止为0，而是允许以小的概率出现非零值。试验证明这种方式更好一些。

考虑高斯分布的实际情况，并经过试验验证y仅在[-4，4]之间取值，就能够达到令人满意的精度。图6给出了X大小对噪声精度的影响曲线，纵轴为平均误差。

可以看出，当2X大于5500时，误差达到了极小稳定状态。为了方便计算，选择2X=213=8192，即X=212=4096。

图7给出了实验结果(均值为120，方差为40)：虚线部分为标准高斯分布的曲线，实线部分为噪声直方图，验证了本方法的有效性。

3精度讨论

该方法主要利用两个表：一个是循环产生均匀噪声的表；另一个是映射表。这两个表的数值都可以由前面介绍的方法计算，下面只讨论它们的精度取舍。

循环表