0 引言

　　雷达的距离分辨率和速度(径向)分辨率取决于雷达选择的信号形式，雷达信号在频域上占据的频带越宽，则其距离分辨率越好；雷达信号在时域上持续宽度越大，则其速度分辨率越佳。从提高雷达分辨率的角度设计雷达信号，就要求信号模糊函数的主峰高而尖锐，副峰低而平坦。常用的雷达信号，例如：lfm(线性调频)信号对速度不敏感，不能用来测速，nlfm(非线性调频信号)自相关函数的旁瓣电平有所改善，但在模糊函数高多普勒频率截面上仍存在较大的距离旁瓣，大目标或杂波的旁瓣将掩盖旁瓣附近小目标的主瓣，在多目标环境中，多个目标响应旁瓣的合成，甚至可能掩盖较强目标响应的主瓣。又由于线性调频信号存在着多普勒频移与距离的耦合，因此当目标回波的多普勒频移较大时将产生较大的测距误差。

　　本文介绍一种fhss(跳频扩频)信号，雷达信号如果按costas序列的构成方法进行跳频，将得到理想的模糊函数性能。

1 costas序列的概念

　　设p为n阶置换矩阵，若序列p的(离散)自相关函数r(τ，d)副瓣的最大值不大于1，则称置换矩阵p为n阶costas矩阵，序列p称为costas序列。

　　为线性调频信号与costas信号及其离散自相关函数的图形。其中：图(a)为正斜率的线性调频信号，图(e)为其离散自相关函数；图(b)为负斜率的线性调频信号，图(f)为其离散自相关函数；图(c)为6阶costas信号，6阶costas序列可用有限域理论生成，其本原元为α=3，放置函数为：y(k)=αk(mod7)，k=1，2，…，6，图(g)为其离散自相关函数；图(d)为7阶costas信号，图(h)为其离散自相关函数。

　　a) 线性调频信号的离散自相关函数具有较高的副瓣，而costas信号离散自相关函数副瓣的最大值为1。

　　b) 在图(e)(或图(f))中，副瓣的总和为：2(5+4+3+2+1)=30，在图(g)中，副瓣的总和(即1的个数)为：6(6-1)=30。还可以发现，在图(e)(或图(f))中每一行(或列)副瓣的数值与图(g)中对应的行(或列)副瓣1的和相等。由模糊体积不变性原理，可以知道任何调制都不能改变模糊曲面下的总容积。该容积只取决于信号的能量，而与信号的形式无关，但可选择适当的信号形式，也就是选择不同形状的模糊曲面，使其与特定的目标环境图相匹配，以实现在所需要分辨目标的区域，使模糊图的体积分布小些，从而提高分辨力。例如：可以采用非线性调频信号来改善线性调频信号的副瓣性能和提高多普勒灵敏度，从这种意义上说，可以认为costas信号是一种特殊形式的非线性调频信号。其模糊函数图形具有像相位编码信号一样的"图钉状"特性。在时域宽度一定的情况下，信号按照costas序列构成方法进行fhss，利用costas序列特殊的序列结构，以及信号频谱的扩展换取了信号理想的模糊函数性能。costas序列特殊的序列结构可使模糊函数的副峰低而平坦，信号频谱的扩展可使模糊函数的主峰高而尖锐。

　　判断n阶置换序列p是否为costas序列，需要计算序列p的自相关函数，当n较大时，计算工作量是很大的。利用有限域理论，能够快速构造costas序列。

2 有限域简介

　　具有有限个元素的域称为有限域，有限域又称为伽罗瓦(galois)域，将q阶有限域记作gf(q)。

　　任何两个元素个数相同的有限域是同构的。两个同构的域，如果不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看做一个域。

gf(q)(q<∞)，有两种类型：

　　a) 包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模p的同余类域zp。

　　b) 包含pn个元素，p为素数，n为大于或等于2的整数，称为gf(p)的扩域gf(pn)。

　　gf(pn)(n≥2)可看成一个多项式环，多项式的最高次数为(n-1)，多项式的系数为zp的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其中，f(x)为zp上的任一个n次不可约多项式(即f(x)的所有根都不在zp上)，则这个多项式环就是有限域gf(pn)。

　　gf(p)的扩域gf(pn)又是zp上的n维线性空间，因此存在一组基ul，u2，…，un，使f={a1u1+a2u2+…+anun|ai∈zp，1≤i≤n}，所以f中元素个数(即f中元素在基u1，u2，…，un下坐标组的个数)为： 。

　　gf(pn)的非零元的集合gf(pn)*是一个乘群，gf(pn)*的生成元又叫本原元。

3 costas序列的代数结构

　　设有限域gf(p)，p为素数，α为gf(p)的本原元，η为gf(p)的非零元，序列c为(p-1)阶置换矩阵，则序列c为costas序列的充分条件是序列c的放置函数为：

　　设有限域gf(q)，q=pn，p为素数，n为自然数，α，β为gf(q)的本原元，序列c为(q-2)阶置换矩阵，则序列c为costas序列的充分条件是序列c的放置函数为：